题目:如图1,在凸四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,对角线BD上存在一点P满足∠APB=2∠CPD,线段AP上两点X,Y满足∠AXB=2∠ADB,∠AYD=2∠ABD.

求证:BD=2XY

思考过程:X和Y都是后生成的点,位置比较刁钻,关于线段XY,可获取的信息太少.

因此考虑利用相似把XY转移出去.

(资料图片仅供参考)

∠ABC=∠ADC,显然ABCD四点共圆,AC为直径,画出外接圆与圆心.(如图2)

圆心出来了,连一下OX,OY.

观察猜想△OXY∽△CDB.

题目给的条件全都是角,显然证明相似的途径是倒角.

为了便于倒角,连接OD,OB.(如图3)

由于∠AYD=2∠ABD,∠AOD=2∠ABD,AYOD四点共圆.

那么有∠XYO=∠ODA=∠OAD=∠DBC.

同理,∠YXO=∠BDC.

那么相似就得到了证明.

BD/XY就可以转化为OY/DC.

那么接下来就要证明DC=2OX.

题目中还有关于点P的条件没有用到,那么考虑延长AP.

而O是AC中点,那么可以尝试构造中位线来获得1:2的关系.

因此,过C作OX平行线,交AP延长线于E.(如图4)

观察猜想△PCE≌△DPC.

∠E=∠AXO=∠BDC.

由∠APB=2∠DPC得∠EPC=∠CPD.

又有公共边PC,因此全等得证.

那么CE=CD.

而OX为中位线,CE=2OX.

所以CD=2OX.

这样题目就得到了证明.

下面给出证明过程.

证明:

∵∠ABC=∠ADC=90°

∴ABCD四点共圆,AC为外接圆直径.

取外接圆圆心O,连接OB,OD,OX,OY.

∠XYO=∠ODA=∠OAD=∠DBC.

同理,∠YXO=∠BDC.

∴△OXY∽△CBD

∴XY/BD=OX/CD

过C作OX平行线,交AP延长线于E.

∵∠APB=2∠DPC.

∴∠EPC=∠CPD.

∵O为AC中点,O平行于CE.

∴OE平行等于2OX.

∴∠E=∠AXO=∠BDC.

又OP=OP

∴△CPE≌△CPD.

∴XY/BD=OX/CD=OX/CE=1/2

证毕.

几何图像网址:https://www.desmos.com/geometry-beta/hqjtcvbkvh?lang=zh-CN

(图画起来有点烦)

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